若函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），对定义域内的任意两个实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y
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解题思路：（1）运用函数的奇偶性的定义，令x=y=1得到f（1）=0，令x=y=-1得到f（-1）=0，令y=-1则f（-x）=f（x），结论成立；
（2）运用增函数的定义证明，令0＜x1＜x2则
x
2
x
1
＞1，f（
x
2
x
1
）＞0，再由条件可得到f（x2）＞f（x1），
可得证；
（3）由a∈[1，4]，f（x）为增函数，求出f（a）的取值范围，再解0≤2b-2≤2，即可得到b的取值范围．
（1）证明：∵定义域关于原点对称，
∴令x=y=1则f（1）=2f（1）
∴f（1）=0，
令x=y=-1则f（1）=2f（-1）
∴f（-1）=0，
令y=-1则f（-x）=f（x）+f（-1）
∴f（-x）=f（x）即y=f（x）为偶函数；
（2）证明：∵当x＞1时，f（x）＞0，
令0＜x1＜x2则
x2
x1＞1，
f（
x2
x1）＞0即f（x2）+f（
1
x1）＞0，
即f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（3）由g（x）=2x-2得g（b）=2b-2，
又a∈[1，4]，f（x）为增函数，
∴f（1）最大即为0，f（4）最大即为2，
即0≤2b-2≤2故1≤b≤2，
∴b的取值范围是[1，2]．
点评：
本题考点： 抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性和单调性及应用，注意定义的运用，以及考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．
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