已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式f(a2-2a-2)<3的解.
解题思路:本题考查的是抽象函数问题,已知抽象函数的运算性质,常用“赋值法”.有具体函数背景的抽象函数问题,如果是客观题,可以用具体函数求解.如本题:可设f(x)=kx+b,根据条件求出k、b,再解不等式.
解抽象函数的不等式,需知函数的单调性;
用定义:任取x1<x2,x2-x1>0,则f(x2-x1)>2
∴f(x2)+f(-x1)-2>2
∴f(x2)+f(-x1)>4;
对f(x+y)+2=f(x)+f(y)取x=y=0得:
f(0)=2,再取y=-x得f(x)+f(-x)=4即f(-x)=4-f(x),
∴有f(x2)+4-f(x1)>4
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上递增,
又f(3)=f(2)+f(1)-2=f(1)+f(1)-2+f(1)-2=3f(1)-4=5
∴f(1)=3;
于是:不等式f(a2-2a-2)<3等价于f(a2-2a-2)<f(1)
∴a2-2a-2<1
∴-1<a<3.
所以不等式的解集为:a|-1<a<3.
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;不等式的综合.
考点点评: 本题考查的是抽象函数及其应用问题.在解答的过程当中充分体现了函数单调性的应用、抽象不等式的转化以及二次不等式的解法.值得同学们体会和反思.
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