已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5，求不

已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5，求不等式f（a2-2a-2）＜3的解．

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解题思路：本题考查的是抽象函数问题，已知抽象函数的运算性质，常用“赋值法”．有具体函数背景的抽象函数问题，如果是客观题，可以用具体函数求解．如本题：可设f（x）=kx+b，根据条件求出k、b，再解不等式．

解抽象函数的不等式，需知函数的单调性；

用定义：任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞2

∴f（x2）+f（-x1）-2＞2

∴f（x2）+f（-x1）＞4；

对f（x+y）+2=f（x）+f（y）取x=y=0得：

f（0）=2，再取y=-x得f（x）+f（-x）=4即f（-x）=4-f（x），

∴有f（x2）+4-f（x1）＞4

∴f（x2）＞f（x1）

∴f（x）在R上递增，

又f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5

∴f（1）=3；

于是：不等式f（a2-2a-2）＜3等价于f（a2-2a-2）＜f（1）

∴a2-2a-2＜1

∴-1＜a＜3．

所以不等式的解集为：a|-1＜a＜3．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；不等式的综合．

考点点评： 本题考查的是抽象函数及其应用问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的应用、抽象不等式的转化以及二次不等式的解法．值得同学们体会和反思．

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