（1）∵MN ∥ BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN ∽ △ABC．
∴
AM
AB =
AN
AC ，即
x
4 =
AN
3 ；
∴AN=
3
4 x；
∴S=S △MNP=S △AMN=
1
2 •
3
4 x•x=
3
8 x 2．（0＜x＜4）
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=
1
2 MN．
在Rt△ABC中，BC=
A B 2 +A C 2 =5；
由（1）知△AMN ∽ △ABC，
∴
AM
AB =
MN
BC ，即
x
4 =
MN
5 ，
∴MN=
5
4 x
∴OD=
5
8 x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=
5
8 x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ ∽ △BCA，
∴
BM
BC =
QM
AC ，
∴BM=
5×
5
8 x
3 =
25
24 x，AB=BM+MA=
25
24 x+x=4
∴x=
96
49 ，
∴当x=
96
49 时，⊙O与直线BC相切；
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．
∵MN ∥ BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，
∴△AMO ∽ △ABP，
∴
AM
AB =
AO
AP =
1
2 ，
∵AM=MB=2，
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，y=S △PMN=
3
8 x 2，
∴当x=2时，y最大=
3
8 ×4=
3
2 ，
②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN ∥ AM，PN=AM=x，
又∵MN ∥ BC，
∴四边形MBFN是平行四边形；
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-（4-x）=2x-4，
又∵△PEF ∽ △ACB，
∴ (
PF
AB ) 2 =
S △PEF
S △ABC ，
∴S △PEF=
3
2 （x-2） 2；
y=S △MNP-S △PEF=
3
8 x 2-
3
2 （x-2） 2=-
9
8 x 2+6x-6，
当2＜x＜4时，y=-
9
8 x 2+6x-6=-
9
8 （x-
8
3 ） 2+2，
∴当x=
8
3 时，满足2＜x＜4，y最大=2．
综上所述，当x=
8
3 时，y值最大，最大值是2．
