在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M - 已解决

在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M 是AC边上的动点【M不与A.B重合】,MN平行BC交与AC于点N

△AMN关于MN的对称图形是△PMN,设AM=X

问1.用含X的式子表示△AMN的面积【不必写出过程】；

2.当X为何值时点P恰好落在BC上；

3.在动点M的运动过程中,记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为Y,试求y关于x的函数关系式；并求X为何值时重叠部分的面积最大,最大面积是多少?

; 在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M 是AB边上的动点【M不与A.B重合】，MN平行BC交与AC于点N

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（1）∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM＝∠C．

∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ ,即．

∴ AN＝x．

∴ =．（0＜＜4）

（2）

如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =MN．

在Rt△ABC中,BC ＝=5．

由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ,即．

∴ ,

∴ ．

过M点作MQ⊥BC 于Q,则．

在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ ．

∴ ,．

∴ x＝．

∴ 当x＝时,⊙O与直线BC相切

（3）随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．

∴ ． AM＝MB＝2．

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜≤2时,．

∴ 当＝2时,

② 当2＜＜4时,设PM,PN分别交BC于E,F．

∵ 四边形AMPN是矩形,

∴ PN∥AM,PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC,

∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN＝BM＝4－x．

∴ ．

又△PEF ∽ △ACB．

∴ ．

＝．

当2＜＜4时,．

∴ 当时,满足2＜＜4,．

综上所述,当时,值最大,最大值是2．

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