第一题：假设函数 f：R->R 满足f(2x - f(x)) = x
1个回答

a)利用数学归纳法证明

f(y)= y+r,(此时n=0)

假定f(y-nr) = (y-nr)+r对n=k成立则

f(y-(k+1)r) = f(2(y-(k+1)r+r) - (y-kr+r)) = f(2(y-kr) -f(y-kr)) = y-kr = (y-(k+1)r ) +r 也成立

因此这对所有正整数成立

b)我们假设k是最大的一个不满足上式得负整数,则

f(y-(k+1)r) = (y-(k+1)r)+r成立

而f(y-kr) = f(2(y-(k+1)r) - (y-(k+1)r +r) ) = f(2(y-(k+1)r) -f(y-(k+1)r)) = y-(k+1)r = y-kr+r

如果k是最大的一个不满足这个条件的负整数,则f(y-kr)必然有两个值,与f是单射矛盾

因此b)必然成立

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