解题思路：（1）因为k=7，所以a1，a3，a7成等比数列，又an是公差d≠0的等差数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的定义可以得到an=a1+（n-1）d=n+1，bn=b1×qn-1=2n，
（i）用错位相减法可求得anbn的前n项和为Tn=n×2n+1；
（ii）因为新的数列{cn}的前2n-n-1项和为数列an的前2n-1项的和减去数列bn前n项的和，所以计算可得答案；
（2）由题意由于（a1+2d）2=a1（a1+（k-1））d，整理得4d2=a1d（k-5），解方程得
d＝
a
1
(k−5)
4
，
q＝
a
3
a
1
＝
a
1
+2d
a
1
＝
k−3
2
，又因为存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，ak，am成等比数列，及在正项等差数列{an}中，得到2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）3，分析数特点即可．
（1）因为k=7，所以a1，a3，a7成等比数列，又an是公差d≠0的等差数列，
所以（a1+2d）2=a1（a1+6d），整理得a1=2d，
又a1=2，所以d=1，b1=a1=2，q＝
b2
b1＝
a3
a1＝
a1+2d
a1＝2，
所以an=a1+（n-1）d=n+1，bn=b1×qn-1=2n，
（i）用错位相减法或其它方法可求得anbn的前n项和为Tn=n×2n+1；
（ii）因为新的数列{cn}的前2n-n-1项和为数列an的前2n-1项的和减去数列bn前n项的和，
所以S2n−n−1＝
(2n−1)(2+2n)
2−
2(2n−1)
2−1＝(2n−1)(2n−1−1)．
所以S2n−n−1−22n−1+3•2n−1＝1
（2）由（a1+2d）2=a1（a1+（k-1））d，整理得4d2=a1d（k-5），
因为d≠0，所以d＝
a1(k−5)
4，所以q＝
a3
a1＝
a1+2d
a1＝
k−3
2．
因为存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，ak，am成等比数列，
所以am＝a 1q3＝a1(
k−3
2)3，
又在正项等差数列{an}中，am＝a1+(m−1)d＝a1+
a1(m−1)(k−5)
4，
所以a1+
a1(m−1)(k−5)
4＝a1(
k−3
2)3，又因为a1＞0，
所以有2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）3，
因为2[4+（m-1）（k-5）]是偶数，所以（k-3）3也是偶数，
即k-3为偶数，所以k为奇数．
点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
考点点评： 此题考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，还考查了解方程的能力，数列求和的错位相减法，及学生的计算能力．
