已知函数f(x)＝1x−2．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）证明函数f(x)＝1x−2在（0，+∞）上是减函数．
4个回答
解题思路：（1）根据使函数的解析式有意义的原则，我们易求出函数的解析式，根据反比例函数的性质，我们易求出函数的值域；
（2）任取区间（0，+∞）上两个任意的实数x1，x2，且x1＜x2，我们作差f（x1）-f（x2），并判断其符号，进而根据函数单调性的定义，可得到结论．
（1）要使函数f(x)＝
1
x−2的解析式有意义
自变量应满足x≠0
故f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
由于[1/x]≠0，则[1/x]-2≠-2
故f（x）的值域为（-∞，-2）∪（-2，+∞）
（2）任取区间（0，+∞）上两个任意的实数x1，x2，且x1＜x2，
则x1＞0，x2＞0，x2-x1＞0，
则f（x1）-f（x2）=（
1
x1−2）-（
1
x2−2）=
1
x1-
1
x2=
x2−x1
x1•x2＞0
即f（x1）＞f（x2）
故函数f(x)＝
1
x−2在（0，+∞）上是减函数
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数的值域．
考点点评： 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数的定义域及其求法，函数的值域，其中熟练掌握基本初等函数的定义域，值域，及函数单调性的证明方法是解答本题的关键．
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