已知函数f(x)＝1a−1x(a＞0，x＞0)．
1个回答
解题思路：（1）要证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，利用定义证明任意x1＜x2且x1，x2∈（0，+∞），有f（x2）＞f（x1）
（2）结合（1）考查函数的单调性．利用单调性判断函数的值域
（3）由
1
a
−
1
x
≥3
，可得
1
a
≥
1
x
+3
在[1，2]上恒成立，构造函数
g(x)＝
1
x
+3
，通过研究函数g（x）在[1，2]上单调性，从而求函数的最大值，而a≥g（x）max，从而可求a
（1）证明：设x1＜x2且x1，x2∈（0，+∞），则x2-x1＞0，x1x2＞0．（1分）
∵f（x2）-f（x1）═(
1
a−
1
x2)−(
1
a−
1
x1)＝
x2−x1
x2x1＞0，
∴f（x2）＞f（x1）．（3分）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（4分）
（2）当a＝
2
5时，f(x)＝
5
2−
1
x(x＞0)；
由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（5分）
∴[1/2≤f(x)＜2（7分）
∴f（x）的最小值为
1
2]，此时x＝
1
2；无最大值．（8分）
（3）依题意，[1/a−
1
x≥3，即
1
a≥
1
x+3在[1，2]上恒成立．
∵函数g(x)＝
1
x+3在[1，2]上单调递减，∴g（x）max=4（11分）
∴
1
a≥4，又a＞0．∴0＜a≤
1
4]，a的取值范围是(0，
1
4]．（14分）
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．
考点点评： 本题主要考查了利用定义法证明函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值（或值域），函数的恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化思想在解题中的应用．
