解题思路：首先把已知坐标代入解析式求出抛物线解析式．然后作辅助线过点C作CH⊥AB于点H，得出四边形ABCD是等腰梯形，由矩形的中心对称性得出过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分．设M（m，n），N（m-2，n+1）利用等式关系求出m，n的值后即可．
（1）∵抛物线y=ax2-3ax+b过A（-1，0）、C（3，2），
∴0=a+3a+b，2=9a-9a+b．
解得a=-[1/2]，b=2，
∴抛物线解析式y=-[1/2]x2+[3/2]x+2．
（2）如图1，过点C作CH⊥AB于点H，
由y=-[1/2]x2+[3/2]x+2得B（4，0）、D（0，2）．
又∵A（-1，0），C（3，2），
∴CD∥AB．
由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形，
∴S△AOD=S△BHC．
设矩形ODCH的对称中心为P，则P（[3/2]，1）．
由矩形的中心对称性知：过P点任一直线将它的面积平分．
∴过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分．
当直线y=kx-1经过点P时，
得1=[3/2]k-1
∴k=[4/3]．
∴当k=[4/3]时，直线y=[4/3]x-1将四边形ABCD面积二等分．
（3）如图2，由题意知，
∵△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ，
∴设绕点I旋转，联结AI，NI，MI，EI，
∵AI=MI，NI=EI，
∴四边形AEMN为平行四边形，
∴AN∥EM且AN=EM．
∵E（1，-1）、A（-1，0），
∴设M（m，n），则N（m-2，n+1）
∵M、N在抛物线上，
∴n=-[1/2]m2+[3/2]m+2，n+1=-[1/2]（m-2）2+[3/2]（m-2）+2，
解得m=3，n=2．
∴M（3，2），N（1，3）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题的综合性强，是不可多得的一道答题．重点考查了二次函数的有关知识以及平行四边形，梯形的性质，难度较大．
