在数列{an}中，an=4n-1+n，n∈N*．
1个回答
解题思路：（1）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
（2）对任意的n∈N*，Sn+1-4Sn=
−
1
2
(3
n
2
+n−4)
，对n分类讨论，n=1与n≥2时 即可证明．
（1）∵数列{an}的an=4n-1+n，n∈N*．
∴数列{an}的前n项和Sn=
4n−1
4−1+
n(n+1)
2=[1/3(4n−1)+
1
2(n2+n)．
（2）证明：对任意的n∈N*，Sn+1-4Sn=
4n+1−1
3]+
(n+1)(n+2)
2-4（
1
3(4n−1)+
1
2(n2+n)）．
=−
1
2(3n2+n−4)
当n=1时，S2=a1+a2=8，4S1=8，∴S2=4S1；
当n≥2时，3n+4＞0，n-1＞0，∴−
1
2(3n2+n−4)＜0，即Sn+1＜4Sn．
∴不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
点评：
本题考点： 数列的求和．
考点点评： 本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、作差法、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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