设f(x)在[0,1]上可微,当0=
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设F(x)=f(x)-∫(0~x)f(t)dt

由于积分中值定理

因为f(x)>f(1)>0

所以

∫(0~1)f(t)dt>∫(0~1)f(1)dt=f(1)

所以F(1)=f()-∫(0~1)f(t)dtf(1)>0

所以由于零值定理,

存在唯一一点ξ属于(0,1),使F(x)=0

即f(ξ)=∫(0~ξ)f(t)dt

又因为,f'(x)不等于f(x)

所以在（0,1）上

F'（x)=f'(x)-f(x)≠0

可用反证法证明F(x)是单调的

若F(x)不是单调的,那么应该有a,b属于（0,1)使得

F（a)=F(b)

所以有c,在a和b之间,使得

F‘（c)=0

这与

在（0,1）上

F'（x)=f'(x)-f(x)≠0

是矛盾的

所以F(x)在（0,1）上是单调的

这就证明了ξ的唯一性

所以存在唯一一点ξ属于(0,1),使f(ξ)=∫(0~ξ)f(t)dt.

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