已知曲线C：y=-x2+x+2关于点M（a，2a）对称的曲线为Cn，且曲线C与Cn有两个不同的交点A、B，设直线AB的斜
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解题思路：设出曲线Cn上的任一点，利用对称性找出该点关于M的对称点，代入曲线C后整理即可得到曲线Cn的方程，
两曲线方程联立后由判别式大于0得到a的取值范围，由根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，把纵坐标用横坐标表示后作差，整理后得到两点连线的斜率（用a表示），根据a的范围可得直线AB的斜率范围．
设（x，y）为曲线Cn上的任一点，
（x，y）关于点M（a，2a）的对称点为（x0，y0），则x0=2a-x，y0=4a-y
依题意，点（x0，y0）在曲线C上∴4a-y=-（2a-x）2+2a-x+2
化简整理，得曲线Cn的方程：y=x2-（4a-1）x+4a2+2a-2
由方程组
y＝−x2+x+2
y＝x2−(4a−1)x+4a2+2a−2
消去y，整理得：x2-2ax+2a2+a-2=0（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝2a，x1x2＝2a2+a−2
∵y1＝−
x21+x1+2，y2＝−
x22+x2+2
两式相减，得：
y1−y2＝[1−(x1+x2)](x1−x2)
∵x1≠x2
∴k＝
y1−y2
x1−x2＝1−(x1+x2)＝1−2a
因曲线C与Cn交于不同两点，方程*应有两不等实根，∴△=4a2-4（2a2+a-2）＞0
即a2+a-2＜0
解之，得：-2＜a＜1，-1＜1-2a＜5
即AB的斜率k的取值范围是-1＜k＜5．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查了直线与圆锥曲线的综合题，考查了利用代入法求曲线的方程，训练了点差法求直线的斜率，考查了学生灵活处理和解决问题的能力，是有一定难度题目．
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