如图,D为△ABC的边BC上的一点DE∥AB,DF∥AC 分别交AC,AB于E,F,设△CDE,△BDF,DEAF的面积

如图,D为△ABC的边BC上的一点DE∥AB,DF∥AC 分别交AC,AB于E,F,设△CDE,△BDF,DEAF的面积为S1,S2,S3,

求证S3=2根号下的S1S2

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证明:DE∥AB,则:⊿CDE∽⊿ABC,S⊿CDE/S⊿ABC=(CD./BD)^2.

即:S1/(S1+S2+S3)=(CD/BC)^2,√[S1/(S1+S2+S3)]=CD/BC;---------------------(1)

同理可证:√[S2/(S1+S2+S3)]=BD/BC;------------------------------------------------(2)

∴√[S1/(S1+S2+S3)]+√[S2/(S1+S2+S3)]=CD/BC+BD/BC=(CD+BD)/BC=1.

即:(√S1+√S2)/√(S1+S2+S3)=1;

√S1+√S2=√(S1+S2+S3);

S1+2√(S1*S2)+S2=S1+S2+S3;

S3=2√(S1*S2).

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