（1） h(x)=lnx+ x 2 +bx+c(x＞0)， h / (x)=
1
x +2x+b ，
依题， h / (x)=
1
x +2x+b≥0 在（0，+∞）上恒成立，
法1： b≥[-(
1
x +2x) ] max ，又 -(
1
x +2x)≤-2
1
x •2x =-2
2 （当且仅当
1
x =2x ，即 x=
2
2 时取等）
∴ b≥-2
2 ．
法2： h / (x)=
2 x 2 +bx+1
x ，令t（x）=2x 2+bx+1，则t（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
由二次函数t（x）图象得，
1°
-
b
4 ≥0
△≤0 ⇒-2
2 ≤b≤0 ；
2°
-
b
4 ＜0
t(0)=1＞0 ⇒b＞0 ，
综合1°、2°得 b≥-2
2 ．
（2）b=0时，f（x）=lnx，g（x）=x 2+c，
设P（x 0，y 0），l 1，l 2的倾斜角分别为α，β，
则 tanα=
1
x 0 ，tanβ=2 x 0 ，由于x 0＞0，则α，β均为锐角，
因为切线l 1，l 2与x轴围成一个等腰三角形依题，有以下两种情况：
1°α=2β时， tanα=tan2β=
2tanβ
1- tan 2 β ⇒
1
x 0 =
4 x 0
1-4 x 0 2 ⇒ x 0 2 =
1
8 ⇒ x 0 =
2
4 ，
此时， P(
2
4 ，ln
2
4 )，c=ln
2
4 -
1
8 ；
2°β=2α时， tanβ=tan2α=
2tanα
1- tan 2 α ⇒2 x 0 =
2
x 0
1-
1
x 0 2 =
2 x 0
x 0 2 -1 ⇒ x 0 2 =2⇒ x 0 =
2 ，
此时， P(
2 ，ln
2 )，c=ln
2 -2 ．
（3）b=-2e 2时，
令 ϕ(x)=
f(x)
x -g( x 2 )=
lnx
x - x 4 +2 e 2 x 2 -c(x＞0) ϕ / (x)=
1-lnx
x 2 -4x( x 2 - e 2 ) ，
0＜x＜e时，∅ /（x）＞0；x＞e时，∅ /（x）＜0
∴∅（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，
∴ ϕ max (x)=ϕ(e)= e 4 +
1
e -c ，
又x→0时，∅（x）→-∞；x→+∞时，∅（x）→-∞
1°∅（e）＞0即 c＜ e 4 +
1
e 时，函数∅（x）有两个零点即方程
f(x)
x =g( x 2 ) 有两个根；
2°∅（e）=0即 c= e 4 +
1
e 时，函数∅（x）有一个零点即方程
f(x)
x =g( x 2 ) 有一个根；
3°∅（e）＜0即 c＞ e 4 +
1
e 时，函数∅（x）没有零点即方程
f(x)
x =g( x 2 ) 没有根．
