定义在R上的函数f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+3同时满足以下条件:
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(Ⅰ)f′(x)=3ax 2+2bx+c

∵f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,

∴f′(1)=3a+2b+c=0…①…(1分)

由f′(x)是偶函数得:b=0②…(2分)

又f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,f′(0)=c=-1③…(3分)

由①②③得: a=

1

3 ,b=0,c=-1 ,

即 f(x)=

1

3 x 3 -x+3 …(4分)

(Ⅱ)由已知得:

若存在x∈[1,e],使4lnx-m<x2-1,即存在x∈[1,e],使m>4lnx-x2+1

设h(x)=4lnx-x 2+1

m>h min,对h(x)求导,导数在(0,

2 )大于零,(

2 ,e)小于零,即h(x)先递增再递减,

当x=

2 .m取最大值+∞,x=e 时,m取最小值5-e 2

∴实数m的取值范围是(5-e 2,+∞).

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