已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的角平分线．则∠D、∠A的关系为
1个回答
（1）：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=
1
2 ∠ABC，∠DCB=
1
2 ∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-
1
2 （∠ABC+∠ACB）=180°-
1
2 （180°-∠A）=90°+
1
2 ∠A，
∴∠BDC=90°+
1
2 ∠A，
即∠D=90°+
1
2 ∠A．
（2）：∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠DBC=
1
2 ∠EBC，∠BCD=
1
2 ∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD=
1
2 （∠EBC+∠BCD）=
1
2 （180°+∠A）=90°+
1
2 ∠A，
在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）=180°-（90°+
1
2 ∠A）=90°-
1
2 ∠A，即∠D=90°-
1
2 ∠A．
（3）∵BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线，
∴∠1=∠DBC=
1
2 ∠ABC，∠2=∠DCE=
1
2 （∠A+∠ABC），
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBC
=∠DCE-∠1
=
1
2 ∠ACE-
1
2 ∠ABC
=
1
2 （∠A+∠ABC）-
1
2 ∠ABC
=
1
2 ∠A．
故答案为：∠D=90°+
1
2 ∠A；∠D=90°-
1
2 ∠A；∠D=
1
2 ∠A．
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