例1、不等式 的解集为R,求实数a的取值范围.
设y = | ,分析|x－1|, | x + 2|的几何意义,有y > 3
依有向线段长度的定义
∵ 的解集为R,
∴ a < 3 为所求.
例2、用解析法证明：三角形的重心到三角形的三个顶点的距离的平方和等于三边平方和的三分之一.
设△ABC重心为G,以BC所在直线为x轴,过A点垂直于BC的直线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示：
设A(0, a), B(－b, 0), C (c, 0 )
则G
又由
.
有
说明：建立平面直角坐标系的原则①考虑图形的对称性②使图形上的点尽可能多地落在坐标轴上.
例3、已知 , 求 的最大值.
分析： 代数方法求最值需先求解析式,再采用正确的变换方法使变量收敛.
当 最大,值为9.
例4、以点A（1,3）,B（－2,8）,C（7,5）为顶点的 ABC是
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
分析：根据两点的距离公式及正余弦定理可以判断三角形的形状.
由余弦定理,
∴
为钝角.
故 ABC为钝角三角形,选C.
例5、已知两点A（3,－4）,B（－9,2）,在直线AB上求一点P,使得 .
（1）若P在线段AB上时,P为内分点, 同向 .
∵ ∴
即
∴
（2）若P不在线段AB上,
∵ ∴
P点不可能在AB的延长线上,只能在AB的反向延长线上,此时AP与AB的方向相反.
∴
又∵AP = －PA
∴
∴
因此,点P的坐标为（－1,－2）或（7,－6）
例6、求连结A（4,1）和B（－2,4）的直线与x轴的交点P的坐标.
设P（x, y）,由P在直线AB上且P与B不重合,
又∵P在x轴上
∴
∴x = 6
故AB与x轴交点P（6,0）
例7、△ABC中,A（4,1）,B（7,5）,C（－4,7）
（1）求△ABC的A平分线的长.
（2）A的外角平分线与CB的延长线交于E,求点E坐标.
分析：三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线内分对边成两条线段长度比等于夹这角两边长之比.
三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线外分对边成两条线段长度比等于夹这角两边长之比.
设A平分线交BC边于D（x1, y1）,设E（x2, y2）
由
∴
由
∴E（18,3）.
引伸：一九九九年高考最后一题就是一道与定比分点、角分线性质定理有关的求轨迹方程问题,有能力的同学可以研究一下.
如图,给出定点A（a, 0）(a > 0)和直线
l：x = －1,B是直线l上的动点,BOA的角平分线交AB于点C.求C点的轨迹方程.
例8、已知曲线C： ,求其关于点P（2,1）对称的曲线方程.
设所求曲线上任意一点为M（x, y）,按曲线方程的意义,求出关于动点M（x, y）横坐标x与纵坐标y之间关系式f（x, y）= 0即可.
由于所求曲线与已知曲线C关于点P（2,1）对称,则M（x, y）关于点P（2,1）的对称点 一定在C： 上.
根据中点坐标公式,有
∴ 故
即 为所求曲线方程.
例9、求证：对于任意实数x1,x2,y1,y2有下列不等式成立：
分析：和坐标法相反,我们还可以通过构造几何图形法,将代数问题转化为几何问题来解决.这种方法的关键在于深入挖掘代数问题的几何意义,构造出适当的几何模型,使代数问题几何化.
在平面直角坐标系内,设P1（x1, y1）,P2（x2, y2）则
∵连结两点P1,P2的所有线中,以线段P1P2最短
∴
即
例10、求 的最小值.
原解析式可化为
设A（2,3）,B（5,4）,C（x,0）
则 由对称性知,若设A（2,3）关于x轴的对称点为 （2,－3）,有y的最小值为： .
【综合练习】
1、填空题：
（1）A,B是数轴上两点,点A的坐标为x1 = －(a + b),点B的坐标为x2 = b－a,那么AB = BA = = .
（2）当m = 时,点A（－2m + 1,m－2）到y轴的距离是它到x轴距离的2倍.
（3）角 的始边是x的正半轴, ,如果点P在 的终边上, ,则点P的坐标是 .
（4）等腰△ABC的顶点A（3,0）,底边 ,若BC中点是D（5,4）,则它的腰长为 .
（5）已知A（－1,4）,B（3,2）,H是有向线段AB所在直线上一点,且 ,则点H的坐标为 .
2、唯一性选择题
（1）已知两点P1（3,－5）,P2¬（－1,－2）,在P1P2所在直线上有一点P,便 ,则点P的坐标是
A．（－9,4） B．（15,14）
C．（－9,4）或（15,－14）D．（9,4）或（15,14）
（2）若点P在线段AB的反向延长线上,分AB的比为 ,则 的取值范围为
A．（0,+ ） B．（－1,0）
C．（－ ,－1） D．（－ ,0）
（3）已知点A（a,－b）,B（2a,b）,C（3a,3b）,则△ABC的重心G坐标为
A．（ ） B．（2a,b）
C．（6a,3b） D．（a,2b）
（4）已知P分AB的比为 ,则B分AP的比为
A． B． C． D．
（5）线段 ,点P在P1P2的延长线上, ,则点P分 所成的比是
A．2 B． C． D．
3、解答题
（1）用解析法证明：梯形的中位线等于两底之和的一半.
（2）在△ABC 中,已知A（0,－2）,B（－3,1）,C（1,－1）,求BC边上的中线长.
（3）已知P1（－1,－6）,P2¬（3,0）,P为有向线段 的分点,且 ,求P点坐标.
4、设x1y是小于1的正数,求证： .
5、如图, 求 的最小值（其中a < b < c为确定实数,x为任意实数）.
6、已知正△ABC的两个顶点A（2,0）,B（4,2）,求顶点C的坐标.
7、求证：平行四边形的两条对角线的平方和等于各边平方的和.
8、正方形ABCD中,A（－4,0）,中心G（0,3）,求其它三个顶点的坐标.
【答 案】
1、填空题
（1）AB = 2b,BA = －2b, .
（2）
（3）
（4）腰长
（5）
2、唯一性选择题
（1）C （2）B （3）B （4）C （5）B
3、解答题：
（1）证明：建立平面直角坐标系,如图所示：A（a, 0）,B（b, 0）,C（0, c）,D（d, c）设梯形ABCD的中位线为EF,则
∴
而
∴
（2）设BC边中点为D,则D（－1,0）,BC边上的中线长
（3）设P（x, y）
∵
∴（1）若P在有向线段P1P2上,则
故P点坐标
（2）若P在有向线段P¬1P2的反向延长线上,则
故P点坐标 即
因此
4、证明：在平面直角坐标系中,设P（x, y）、Q（1, 1）、O（0, 0）,
则
由于 ,而
∴ .
5、 中,依绝对值的几何意义,当x = b时, 最小为c－a.
6、如图,设顶点C的坐标为（x, y）, 则由 ,得
解之得：
∴顶点C的坐标为（ ）或（ ）.
7、证明：以平行四边形ABCD对角线BD所在直线为x轴,BD中点O为原点建立平面直角坐标系,设A（b, c）,D（a, 0）,则B（－a, 0）
可得
∴
∴
因此,
8、设C（x1, y1）
则有
解得
设B（x2, y2）由
有
因此,正方形ABCD其余三点坐标为（4,6）,（3,－1）,（－3,7）.
