分析:本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的方法求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解.
设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,则有
d2=(p－x)2+(p－y)2=(p－y^2/2p)2+(p－y)2.
∴(d2)′=2(p－y^2/2p)(－y/p)+2(p－y)(－1)= y^3/2p－2p.
令(d2)′y=0,即y^3/2p－2p=0,解得y=3√2pp.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.代入抛物线方程得x=y^2/2p=3√4p^1/2p=p/3√2.
所以点(p/3√2,3√2p)为所求的点.
答案:D
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