解题思路：（1）由函数f（x）=mx3-[1/3]x，可求出f'（x）的解析式，根据以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为 [π/4]，构造方程可以求出m的值，进而求出n值，
（2）由（1）中结论，我们可以求出函数的解析式，由于f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，
我们可以求出x∈[-1，3]的最大值，进而确定满足条件的k值；
（3）根据（1）中函数的解析式，根据三角函数的值域和基本不等式，我们分别求出|f（sinx）+f（cosx）|的最大值和
f(t+
1
2t
)
的最小值，对比后即可得到答案．
（1）f'（x）=3mx2-[1/3]，
依题意，得f'（1）=tan
π
4，即3m-[1/3]=1，m=[4/9]．…（2分）
∵f（1）=n，∴n＝
1
9．…（3分）
（2）f(x)＝
4
9x3−
1
3x，令f'（x）=[4/3]x2-[1/3]=0，得 x＝±
1
2．…（4分）
当 −1＜x＜−
1
2时，f'（x）＞0；
当 −
1
2＜x＜
1
2时，f'（x）＜0；
当 [1/2＜x＜3时，f'（x）＞0．
∵x∈[-1，3]时，k-1999≥f（x）max=11
∴k≥2010∴存在最小的正整数k=2010，
使得不等式f（x）≤k-1999对于x∈[-1，3]恒成立；…（9分）
（3）|f（sinx）+f（cosx）|=|(
4
9sin3x−
1
3sinx)+(
4
9cos3x−
1
3cosx)|=|
4
9(sin3x+cos3x)−
1
3(sinx+cosx)|=|(sinx+cosx)[
4
9(sin2x−sinxcosx+cos2x)−
1
3]|=
2
9|sinx+cosx|3≤
2
9]…（11分）
又∵t＞0，∴t+
1
2t≥
2，t2+
1
4t2≥1．
∴f(t+
1
2t)=[
4
9(t+
1
2t)3−
1
3(t+
1
2t)]=(t+
1
2t)[
4
9(t2+
1
4t2)−
1
9]≥
2
9．…（13分）
综上可得，|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+
1
2t)（x∈R，t＞0）．…（14分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义．
考点点评： 本题考查的知识点是不等式的证明，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，直线的倾斜角，其中根据已知条件，求出函数的解析式，并分析出函数的性质是解答本题的关键．
