（1）∵抛物线经过点A（-1，0）、B（4，0），
∴
a-b-2=0
16a+4b-2=0.
解得
a=
1
2
b=-
3
2 .
∴抛物线所对应的函数关系式为y=
1
2 x 2-
3
2 x-2；
（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，
∴CM=MN=2，
∴点C的坐标为（m，2），
∵点C（m，2）在抛物线上，
∴
1
2 m 2-
3
2 m-2=2，
解得m 1=
3+
41
2 ，m 2=
3-
41
2 ．
∴点C在这条抛物线上时，m的值为
3+
41
2 或
3-
41
2 ；
（3）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，
∴∠CND=90°，DN=CN=
2 CM=
2 MN，
∴CD=
2 CN=2CM=2MN，
∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，
∴点D的坐标为（m，-2）．
又∵抛物线y=
1
2 x 2-
3
2 x-2的对称轴为直线x=
3
2 ，点D在这条抛物线的对称轴上，
∴点D的坐标为（
3
2 ，-2）；
②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：
如果E点在E 1的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），MN=ME 1=2，点N的坐标为（m+2，0），
∴点E 1的（m-2，0），
∵点E 1在抛物线y=
1
2 x 2-
3
2 x-2的对称轴直线x=
3
2 上，
∴m-2=
3
2 ，解得m=
7
2 ；
如果E点在E 2的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
∴点E 2的（m+2，-4），
∵点E 2在抛物线y=
1
2 x 2-
3
2 x-2的对称轴直线x=
3
2 上，
∴m+2=
3
2 ，解得m=-
1
2 ；
如果E点在E 3的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），
∴点E 3的（m，2），
∵点E 3在抛物线y=
1
2 x 2-
3
2 x-2的对称轴直线x=
3
2 上，
∴m=
3
2 ；
如果E点在E 4的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
∴点E 4的（m+4，-2），
∵点E 4在抛物线y=
1
2 x 2-
3
2 x-2的对称轴直线x=
3
2 上，
∴m+4=
3
2 ，解得m=-
5
2 ；
综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=-
5
2 或m=-
1
2 或m=
3
2 或m=
7
2 ．
