设函数f（x）=ax 2 +bx+ 3 4 在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线
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（Ⅰ）因f（x）=ax 2+bx+
3
4 ，故f′（x）=2ax+b
又f（x）在x=0处取得极限值，故 f ′ (0)=0 ，从而b=0
由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直可知该切线斜率为2，
即 f ′ (1)=2 ，有2a=2，从而a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x 2+
3
4 ，
联立直线与曲线方程得到x=-
3
2 或x=1
故曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积为
S=
∫ 1-
3
2 (-
1
2 x+
9
4 )-( x 2 +
3
4 )dx =
∫ 1-
3
2 (- x 2 -
1
2 x+
3
2 )dx
= (-
1
3 x 3 -
1
4 x 2 +
3
2 x)
| 1-
3
2 =
125
48 ；
（Ⅲ） g ′ (x)=
e x •( x 2 +
3
4 )-2x• e x
( x 2 +
3
4 ) 2 =
e x •( x 2 -2x+
3
4 )
( x 2 +
3
4 ) 2
令 g ′ (x)=0 ，得到 x 1 =
1
2 ， x 2 =
3
2
根据x 1，x 2列表，得到函数的极值和单调性
x (-∞，
1
2 )
1
2 (
1
2 ，
3
2 )
3
2 (
3
2 ，+∞)
f ′ （x） + 0 - 0 +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增 ∴函数g（x）的极大值为 g(
1
2 )= e
1
2 ，函数g（x）的极小值为 g(
3
2 )=
1
3 e
3
2
∴
1
3 e
3
2 ＜m＜ e
1
2
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