已知函数f(x)＝2a+1a−1a2x，常数a＞0．
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解题思路：（1）运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：①取值x1，x2∈[m，n]；②作差f（x1）-f（x2）变形；③定号；④下结论；
（2）逆向运用函数单调性的定义，我们可以得到：f（m）=m，f（n）=n，转化为方程的根的问题，利用根的判别式，从而求出参数的范围．
（1）任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，f(x1)−f(x2)＝
1
a2•
x1−x2
x1x2，
因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[m，n]上单调递增．
（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，
f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程[2a+1/a−
1
a2x＝x的两个不等的正根⇔a2x2-（2a2+a）x+1=0有两个不等的正根．
所以△=（2a2+a）2-4a2＞0，
2a2+a
a2＞0⇒a＞
1
2]
点评：
本题考点： 函数单调性的性质；函数的值域．
考点点评： 本题主要考查函数单调性的应用．运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）下结论．取值时，必须注意定义中的x1、x2具有的三个特征；变形时，一定要分解完全，对于抽象函数问题注意合理的利用条件等．
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