解题思路：（1）通过ω=1，求出函数F（x）=f（x）+f（x+[π/2]）的表达式，利用正弦函数的单调区间求解函数的单调区间；
（2）ω=2，得到函数的解析式，将函数y=f（x）的图象向左平移[π/6]个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x），对任意的a∈R，令y=g（x）=0，判断函数在区间[a，a+10π]上的周期数目，然后求解零点个数的所有可能值．
（1）∵ω=1，∴函数F（x）=f（x）+f（x+[π/2]）
=2sinx+2sin（x+[π/2]）
=2sinx+2cosx
=2
2sin(x+
π
4)，
由2kπ−
π
2≤x+
π
4≤2kπ+
π
2，k∈Z，解得−
3π
4+2kπ≤x≤
π
4+2kπ，k∈Z，
∴其单调递增区间为[−
3π
4+2kπ，
π
4+2kπ] （k∈Z）；
由2kπ+
π
2≤x+
π
4≤2kπ+
3π
2，k∈Z，解得[π/4+2kπ≤x≤
5π
4+2kπ，k∈Z
∴其单调递减区间为[
π
4+2kπ，
5π
4+2kπ] （k∈Z）．
（2）ω=2时，f（x）=2sin2x，将函数y=f（x）的图象向左平移
π
6]个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．
∴g（x）=2sin2（x+[π/6]）+1=2sin（2x+[π/3]）+1，
其最小正周期T=π，
由2sin（2x+[π/3]）+1=0，得sin（2x+[π/3]）=-[1/2]，
∴2x+[π/3]=kπ−(−1)k•
π
6，k∈Z，即x=
kπ
2−(−1)k•
π
12−
π
6，k∈Z，
区间[a，a+10π]的长度为10个周期，
若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；
若零点在区间
点评：
本题考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
考点点评： 本题考查三角函数的解析式的求法单调区间的求法，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力．
