已知函数f（x）=2x+a•2-x，x∈（-1，1），其中常数a≠0．
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解题思路：（1）把a=1代入函数解析式，利用基本不等式求最值；
（2）分a=1，a=-1，a≠±1讨论函数的奇偶性；
（3）由已知求得x的范围，把f（x+1）＜f（2x）转化为2x+1+a•2-x-1＜22x+a•2-2x，换元后分离变量得答案．
（1）当a=1时，f（x）=2x+2-x≥2，当且仅当2x=2-x，即x=0时f（x）取最小值2；
（2）f（-x）=2-x+a•2x，-f（x）=-2x-a•2-x，
∴当a=1时，f（-x）=f（x），f（x）为偶函数；
当a=-1时，f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数；
当a≠±1时，f（x）为非奇非偶函数．
（3）由
−1＜x+1＜1
−1＜2x＜1，得−
1
2＜x＜0．
由f（x+1）＜f（2x）恒成立，得
2x+1+a•2-x-1＜22x+a•2-2x，
令t＝2x∈(
2
2，1)，有2t+
2t
a＜t2+
a
t2，即a(1−
t
2)＞2t3−t4，
a
2(2−t)＞t3(2−t)，
∴
a
2＞t3≥1，
则a≥2．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了函数奇偶性的判断，考查了数学转化思想方法，训练了利用分离参数法求参数的范围，是中档题．
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