已知函数f（x）=[2a+1/a]-[1a2x，常数a＞0．
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解题思路：（1）先在m，n]上任取两变量x1，x2，且界定大小，再作差f（x1）-f（x2）变形看符号；
（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）=m，f（n）=n，得出m，n是方程
2a+1
a
−
1
a
2
x
＝x
的两个不等的正根⇔a2x2-（2a2+a）x+1=0有两个不等的正根．利用根的判断式求得a的范围，最后利用二次函数的性质求出n-m的最大值即可．
（1）任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，f(x1)−f(x2)＝
1
a2•
x1−x2
x1x2，
因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[m，n]上单调递增．
（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程
2a+1/a−
1
a2x＝x的两个不等的正根⇔a2x2-（2a2+a）x+1=0有两个不等的正根．
所以△=（2a2+a）2-4a2＞0，因为a＞0，所以a＞
1
2]．
∴n−m＝
1
a
4 a2+4 a−3 ＝
−3 (
1
a−
2
3 )2+
16
3，a∈(
1
2 ， +∞ )，
∴a＝
3
2时，n-m取最大值
4
3
3．
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
考点点评： 本题主要考查用单调性定义证明函数的单调性，函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
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