已知函数f(x)=x|x|+mx+n(m,n为常数）问
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(1)∵f(x)+f(-kx)=6(k为常数）对一切x∈R恒成立
∴令x=0,代入上式,得f(0)+f(0)=6,即f(0)=3
∵f(x)=x|x|+mx+n(m,n为常数）
∴把x=0代入上式,得n=3
故mn+n-3m=3m+3-3m=3;
(2)这样的函数一定存在,例如g(x)=-x|x|-mx-n+h(x)(m,n为常数,其中h'(x)>0).证明如下:
∵f(x)+g(x)=x|x|+mx+n-x|x|-mx-n+h(x)=h(x),h'(x)>0
∴[f(x)+g(x)]'=h'(x)>0
∴f(x)+g(x)是R上的单调增函数；
(3)∵f(2^x)=2^x|2^x|+m2^x+n
=(2^x)²+m2^x+n
=(2^x+m/2)²-[(m²-4n)/4]
∴要使方程f(2^x)=0有两个不等实根
必须使方程(2^x+m/2)²=[(m²-4n)/4]有两个不等实根
即必须使m²-4n>0 ==>m²>4n
故当m,n满足m²>4n条件时,方程f(2^x)=0有两个不等实根 .
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