如图(1)在等腰 中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点， ，
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法一（I）如图：在△ ABC 中，由 E 、 F 分别是 AC 、 BC 中点，得 EF // AB ，
又 AB
平面 DEF ， EF
平面 DEF ，∴ AB ∥平面 DEF ．………………4分
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD，∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角，∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD，取CD的点M，使EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF，
∴∠ MNE 是二面角 E — DF — C 的平面角.……6分设CD＝a,则AC＝BC＝2a , AD＝DB＝
, △DFC中,设底边DF上的高为h由
，∴h＝
在Rt△ EMN 中， EM =
， MN =
h＝
，
∴tan∠ MNE =2从而cos∠ MNE ＝
……8分
（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，………… 9分
证明如下：在图2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q
由已知得∠AED＝120°，于是点G在DE的延长线上，
从而Q在DC的延长线上，过Q作PQ⊥CD交BC于P
∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延长线上。… 12分
法二（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
设CD＝a，则AC＝BC＝2a , AD＝DB＝
则A（0，0，
），B（
，0，0），
C（0，
.…… 5分
取平面CDF的法向量为
设平面EDF的法向量为
，
则
得
…6分
……7分
所以二面角E—DF—C的余弦值为
……8分
（Ⅲ）设
，
又
，……… 9分
……11分
把
，可知点P在BC的延长线上
所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE.……12分
略
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