函数f(x)=x²+2/x+alnx(x>0),f(x)导函数,对任意两个不相等整数x1,x2
1个回答

不知你这是高中题还是大学题?

如果是大学题,可以用下面的方法最简单

1.等价于证明f(x)是凹函数

f'(x)=2x-2/x^2+a/x

f''(x)=2+4/x^3-a/x^2

当a≤0时,f''(x)>0,所以f(x)是凹函数

2.|f'(x1)-f'(x2)|>|x1-x2|

用拉格朗日中值定理,等价与证明

|f''(ξ)|0,即|f''(x)|1

所以|g'(x)|>1

如果是高中题,由于害怕某些老师抽风,不推荐使用中值定理,所以要麻烦得多.

下面是高中解法

1.[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]

由于x1、x2地位对等所以就设00

所以f(x1)+f(x2)-2f[(x1+x2)/2]>0

所以[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]

2.g(x)=f'(x)=2x-2/x²+a/x

设0x1^3+4-ax1

(1)a≤0,x1^3+4-ax1>0显然成立

(2)a>0,构造函数h(x)=x^3-ax+4

h'(x)=3x²-a

所以极限值,也是最小值x=√(a/3)时取得

h(x)min=h(√(a/3))=-2/3*√(a^3/3)+4

由于a≤4,所以-2/3*√(a^3/3)+4>0

所以h(x)>0,即h(x1)=x1^3+4-ax1>0

故x1^3+4-ax1>0恒成立

所以2tx1^3+2(1+t)-ax1-x1^3t>x1^3+4-ax1>0

tx1^3+2(1+t)-ax1>tx1^3>0

取绝对值|tx1^3+2(1+t)-ax1|>|tx1^3>|

所以|tx1^3+2(1+t)-ax1|/|tx1^3>|>1

所以|g(x1)-g(x2)|/|x1-x2|>1

所以|g(x1)-g(x2)|>|x1-x2|

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