设函数f（x）=a2lnx-4x，g（x）=bx2（a≠0，b≠0，a，b∈R）．

设函数f（x）=a2lnx-4x，g（x）=bx2（a≠0，b≠0，a，b∈R）．

（Ⅰ）当

b＝

3

2

时，函数h（x）=f（x）+g（x）在x=1处有极小值，求函数h（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若函数f（x）和g（x）有相同的极大值，且函数

p(x)＝f(x)+

g(x)

x

在区间[1，e2]上的最大值为-8e，求实数b的值（其中e是自然对数的底数）．

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1个回答

解题思路：（1）当b＝32时，根据h（x）的解析式求得h′（x），再由h'（1）=0，求得a2的值，从而确定h′（x），再由h′（x）＞0，求得函数h（x）的增区间．（2）根据g（x）=bx2有极大值，可得b＜0且（g（x））极大值=0．利用导数求的 (f(x))极大值＝f(a24)＝a2lna24−a2＝0，可得 a2=4e，从而得到 p（x）=4elnx-4x+bx，p′(x)＝4ex−4+b＝0 ⇒ x＝4e4−b＜e．再分当4e4−b≤1、当1＜4e4−b＜e 两种情况，依据p（x）在区间[1，e2]上的最大值为-8e，求实数b的值．

（1）当b＝

3

2时，∵h(x)＝a2lnx−4x+

3

2x2⇒h′(x)＝

a2

x−4+3x，由题意可得h'（1）=0，∴a2=1，

∴h′(x)＝

1

x−4+3x＝

(3x−1)(x−1)

x(x＞0)．

∴当x∈(0，

1

3)时，h'（x）＞0⇒h（x）递增； 当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0⇒h（x）递增，

∴h（x）的递增区间为(0，

1

3)、（1，+∞）．

（2）g（x）=bx2有极大值，则b＜0，且（g（x））极大值=0．

∵f（x）=a2lnx-4x，f′(x)＝

a2−4x

x，

当x∈(0，

a2

4)时，f'（x）＞0，当x∈(

a2

4，+∞)时，f'（x）＜0，

∴(f(x))极大值＝f(

a2

4)＝a2ln

a2

4−a2＝0，∴

a2

4=e，∴a2=4e，

∴p(x)＝f(x)+

g(x)

x=4elnx-4x+bx，令 p′(x)＝

4e

x−4+b＝0 ⇒ x＝

4e

4−b＜e．

（i） 当[4e/4−b≤1，即b≤4-4e时，由p'（x）≤0⇒p（x）递减，∴（p（x））max=p（1）=-4+b=-8e，∴b=4-8e＜4-4e，符合题意．

（ii） 当1＜

4e

4−b＜e，即4-4e＜b＜0时，

当x∈[1，

4e

4−b)时，p'（x）＞0⇒p（x）递增，当x∈(

4e

4−b，e)时，p'（x）＜0⇒p（x）递减，

∴(p(x))max＝p(

4e

4−b)=4e•ln

4e

4−b]-4•[4e/4−b]+b•[4e/4−b]=-8e，花间得 ln[4e/4−b]-[4/4−b]+[b/4−b]=-2，即 ln[4e/4−b]=-1，即 [4e/4−b]=[1/e]，

求得 b=4-4e2＜4-4e，不符合题意，舍去．

综上所述，b=4-8e．

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的极值，属于中档题．

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