解题思路：（1）由条件得1，b1，b2，…bk，[1/3]，[1/9]成等差数列，求出公差d=-[2/9]，k=2，即可求这2个数；
（2）设a1与a2之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a2与a3之间插入（m-k）个数，由条件这等差数列第一项为a1=1，第k+2项为a2=q，第m+2项为a2=q2，列出方程，即可求公比q的所有可能取值的集合；
（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列，再进行证明即可．
（1）由条件得1，b1，b2，…bk，[1/3]，[1/9]成等差数列，
所以公差d=-[2/9]，k=2，
所以这2个数为：b1=[7/9]，b2=[5/9]；…（2分）
（2）设a1与a2之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a2与a3之间插入（m-k）个数，
由条件这等差数列第一项为a1=1，第k+2项为a2=q，第m+2项为a2=q2，
所以[q−1/k+1]=
q2−q
m−k+1，q≠1，
所以q=[m−k+1/k+1]，且 k≠[m/2]；
所以公比q的所有可能的取值的集合{ q|q=[m−k+1/k+1]，k∈N，k≤m且k≠[m/2]}；…（6分）
（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列；
证明如下：
（i）当q∈N，且q≥2时，新构成的等差数列可以是正整数数列1，2，3，…，显然满足条件；…（8分）
（ii） 若在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列，这个等差数列设为{bn}，则对于任意的k∈N*，都有
ak+1−ak
ck+1＝
ak+2−ak+1
ck+1+1，
即
qk−qk−1
ck+1=
qk+1−qk
ck+1+1，q≠1且q≠0，
所以q=
ck+1+1
ck+1，ck+1，ck∈N，
所以q为正有理数，{an}为正项无穷等比数列，
若q不为整数，不妨设q=[t/p]，其中p，t∈N*，p与t互质，且p≥2，
等差数列{bn}的公差为d=
点评：
本题考点： 数列的应用．
考点点评： 本题考查的是数列的应用，考查等差数列与等比数列的综合，考查反证法思想的运用，难度大，学生很难解决．
