1.数列{an}满足a1+a2+……+an=[4-(-2)^n]/3,n∈N*,则1/a1+1/a3+1/a5+……1/
3个回答
1,依题意有：a1=2,1/a1=1/2
设数列{an}前n项和为Sn,依题意有：Sn=[4-(-2)^n]/3……(1)
故当n大于等于2时,有：S(n-1)=[4-(-2)^(n-1)]/3……(2)
又Sn-S(n-1)=an
所以（1）-（2）得：
an=(-2)^(n-1) (n大于等于2)
即：1/an=(-2)^(1-n) (n大于等于2)
设：1/a3,1/a5,……,1/a21为一组新数列{bn}
bn=a(2n+1)=(-2)^(-2n)=2^(-2n)=(1/4)^n
可知数列{bn}为首项为1/4,公比为1/4的等比数列,根据等比公式求和公式得：
b1+b2+b3+……+b10=(1/3)×(1-(1/4)^10)
故：1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21
=1/2+(b1+b2+b3+……+b10)
=1/2+(1/3)×(1-(1/4)^10)
2,
证明：
因为：an=S(n-1)+2……（1）
所以：a(n+1)=Sn+2……（2）且Sn-S(n-1)=an
所以（2）-（1）,得：
a(n+1)-an=an,即：a(n+1)/an=2
故数列{an}是首项a1=2,公比q为2的等比数列得证.
所以：an=a1×q^(n-1)=2^n为所求.
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