已知函数f(x)=ln[1/x]-ax2+x(a>0).
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解题思路:(1)先求导数,由f′(1)=f′(2),即可得到a的值可求出f′(1),进而得到函数函数f(x)的解析式,得到f(1),则函数在x=1处的切线的方程可求出;

(2)先设x1,x2为方程f′(x)=0的两个实数根,由韦达定理得到

x

1

+

x

2

=

1

2a

x

1

x

2

=

1

2a

,由于f(x)的极大值和极小值分别为m,n,可求出参数a的范围,将m+n=f(x1)+f(x2)整理为

lna+

1

4a

+ln2+1

,进而求出

lna+

1

4a

+ln2+1

>3-2ln2,即得证.

(1)f′(x)=-

2ax2-x+1

x

∵f′(1)=f′(2),

∴-2a=

8a-1

2,即a=

1

4

∴f(x)=-lnx-

1

4x2+x

∴f(1)=

3

4,f′(1)=-

1

2

∴f(x)图象在x=1处的切线的方程为y-

3

4=-

1

2(x-1),即2x+4y-5=0;

(2)设x1,x2为方程f′(x)=0的两个实数根,

则x1+x2=

1

2a,x1x2=

1

2a

由题意得:

△=1-8a>0

x1+x2>0

x1x2>0⇒0<a<

1

8

则m+n=f(x1)+f(x2)=-lnx1-ax12+x1-lnx2-ax22+x2

=-lnx1x2-a[(x1+x2)2-2x1x2]+x1+x2=lna+

1

4a+ln2+1

令g(a)=lna+

1

4a+ln2+1,则g′(a)=

4a-1

4a2,

故当0<a<

1

8

点评:

本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.

考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值,同时考查了导数的几何意义,以及学生灵活转化题目条件的能力,是个中档题.