(1)若O是△ABC所在平面内一点,且满足|向量OB-向量OC|=|向量OB+向量OC-2向量OA|,则△ABC的形状
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1
|OB-OC|=|OB+OC-2OA|
即：|CB|=|OB-OA+OC-OA|
即：|AB-AC|=|AB+AC|
故：AB·AC=0,即：AB与AC垂直
即△ABC是以A为直角的直角△
2
PA=PB+PC=2PD
故：|PA|=2|PD|,即：|AP|/|PD|=|PA|/|PD|=2
即：a=2
3
OA+OB=OC
故：|OC|^2=|OA|^2+|OB|^2+2OA·OB
即：r^2=2r^2+2r^2cos(2C)
即：cos(2C)=-1/2,即：2cosC^2-1=-1/2
即：cosC^2=1/4,即：cosC=1/2或-1/2
即：C=π/3或2π/3
4
a·b=sinx^2+sinxcosx=(1-cos(2x))/2+sin(2x)/2
=(sin(2x)-cos(2x))/2+1/2
=(√2/2)sin(2x-π/4)+1/2
x∈[-3π/8,π/4],故：2x-π/4∈[-π,π/4]
故：sin(2x-π/4)∈[-1,√2/2]
故：a·b的最大值：1
故：q=1/2
5
设M(x,y)
AM=(x-a,y),MB=(3-x,2+a-y)
AM=2MB,故：(x-a,y)=2(3-x,2+a-y)
即：3x=a+6,即：x=(a+6)/3
3y=2a+4,即：y=(2a+4)/3
M点在直线y=ax/2上
故：(2a+4)/3=(a/2)((a+6)/3)
即：a^2+2a-8=(a-2)(a+4)=0
故：a=2或-4
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