等腰直角△ABC和⊙O如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=900,⊙O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.现两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,同时△ABC的边长AB,BC又以每秒0.5个单位沿BA,BC方向增大.
(1) △ABC的边与圆第一次相切时,点B运动了多少距离?
(2) 从△ABC的边与圆第一次相切到最后一次相切,共经过多少时间?
(3) 是否存在某一时刻,△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积?若存在,求出恰好符合条件时两个图形各运动了多少时间;若不存在,请说明理由
:(1)假设第一次相切时,△ABC移至△A′B′C′处,
A′C′与⊙O切于点E,连OE并延长,交B′C′于F.
设⊙O与直线l切于点D,连OD,则OE⊥A′C′,OD⊥直线l.由切线长定理可知C′E=C′D;
由等腰Rt△ABC得∠ACB=∠A′C′B′=45°
得△EFC′是等腰三角形,C′E=EF
设C′D=x,则C′E=EF=x,易知C′F= √2 x,
OF=1+x FD=x+√2x OD=1
在Rt△FDO中
FD+OD=OF
(1+√2)x+1=(1+x)
(3+2√2)x+1=1+2x+x
(2+2√2)x=2x (x=0舍去)
(1+√2)x=1
x=1/(√2+1)
x=√2-1
∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-√2+1=5-√2
∴经过时间
(5-√2)/2
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