已知函数f（x）=x3-（a+b）x2+abx，这里0＜a＜b．
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解题思路：（Ⅰ）根据函数的极值点出导数为0，知，极值点是导数等于零的根，所以先求导，再解导数等于零，两根为s，t，再判断x=a，b时导数的正负，比较大小即可．
（Ⅱ）求出AB的中点坐标，再代入y=f（x），判断是否成立即可．
证明：（Ⅰ）∵f（x）=x3-（a+b）x2+abx，
∴f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab
则3x2-2（a+b）x+ab=0的两根是s，t
∵f′（0）=ab＞0
f′（a）=a2-ab=a（a-b）＜0
f′（b）=b（b-a）＞0
∴0＜s＜a＜t＜b．
（Ⅱ）设AB中点C（x0，y0），
则x0＝
s+t
2，y0＝
f(s)+f(t)
2，
故有s+t=
2(a+b)
3，st=[ab/3]，
∴x0＝
a+b
3，
f（s）+f（t）=（s3+t3）-（a+b）（s2+t2）+ab（s+t）
=-
4
27(a+b)3+
2
3ab(a+b)，
∴y0＝−
2
27(a+b)2+
1
3ab(a+b)．
代入验算可知C在曲线y=f（x）上．
∴线段AB的中点C在曲线y=f（x）上．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查不等式的证明，考查线段的中点到曲线上的证明，解题时要注意导数知识的合理运用，是中档题．
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