解题思路：（1）求出函数的导数，利用导数画出表格，求出函数的极值
（2）根据f（x）的极值求出函数g（x）关系式从而证明函数g（x）的极大值小于[5/4]
（Ⅰ）当a=2时，f′（x）=x2-3x+2=（x-1）（x-2）．
列表如下：
x （-∞，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以，f（x）的极小值为f（2）=[2/3]．（6分）
．（5分）
（Ⅱ）f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
g′（x）=3x2+2bx-（2b+4）+[1/x]=
(x−1)[3x2+(2b+3)x−1]
x．
令p（x）=3x2+（2b+3）x-1，
（1）当1＜a≤2时，
f（x）的极小值点x=a，则g（x）的极小值点也为x=a，
所以p（a）=0，
即3a2+（2b+3）a-1=0，
即b=[1−3a2−3a/2a]，
此时g（x）极大值=g（1）=1+b-（2b+4）=-3-b
=-3+
3a2+3a−1
2a=[3/2a−
1
2a−
3
2]．
由于1＜a≤2，
故[3/2a−
1
2a−
3
2]≤[3/2] x2-[1/4]-[3/2]=[5/4]．（10分）
（2）当0＜a＜1时，
f（x）的极小值点x=1，则g（x）的极小值点为x=1，
由于p（x）=0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，
所以0＜x1＜1，
即p（1）=3+2b+3-1＞0，
故b＞-[5/2]．
此时g（x）的极大值点x=x1，
有g（x1）=x13+bx12-（2b+4）x1+lnx1
＜1+bx12-（2b+4）x1
=（x12-2x1）b-4x1+1 （x12-2x1＜0）
＜-[5/2]（x12-2x1）-4x1+1
=-[5/2]x12+x1+1
=-[5/2]（x1-[1/5]）2+1+[1/10]（0＜x1＜1）
≤[11/10]，＜[5/4]．
综上所述，g（x）的极大值小于等于[5/4]．（14分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值
