解题思路：（1）当a=1时，f（x）=1+（[1/2]）x+（[1/4]）x，f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞），函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数．
（2）f（x）=1+a•（[1/2]）x+（[1/4]）x=[（[1/2]）x+[a/2]]2+1-
a
2
4
≥1-
a
2
4
，由f（x）＞0，得a＞2或a＜-2．由a∈[-[5/2]，-2]时，f（x）＞0恒成立，得当a=-2时，f（x）=[（[1/2]）x-1]2＞0，由此能求出x的取值范围．
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，设t=（[1/2]）x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t2≤3，-（t+[4/t]）≤a≤[2/t]-t在（0，1]上恒成立，由此利用构造法能求出实数a的取值范围．
（1）当a=1时，f（x）=1+（[1/2]）x+（[1/4]）x，
因为f（x）在（-∞，0）上递减，
所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞），
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立．
所以函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数．
（2）∵f（x）=1+a•（[1/2]）x+（[1/4]）x
=[（[1/2]）x+[a/2]]2+1-
a2
4≥1-
a2
4，
∴由f（x）＞0，得1-
a2
4＞0，
解得a＞2或a＜-2．
∵a∈[-[5/2]，-2]时，f（x）＞0恒成立，
∴当a=-2时，
f（x）=[（[1/2]）x-1]2＞0，
∴x≠0．
∴a∈[-[5/2]，-2]时，f（x）＞0恒成立，x的取值范围是（-∞，0）∪（0，+∞）．
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
设t=（[1/2]）x，t∈（0，1]，
由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t2≤3，
∴-（t+[4/t]）≤a≤[2/t]-t在（0，1]上恒成立，
设h（t）=-t-[4/t]，m（t）=[2/t]-t，
则h（t）在（0，1]上递增；m（t）在（0，1]上递减，
所以h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=-5；
m（t）在（0，1]上的最小值为m（1）=1，
所以实数a的取值范围为[-5，1]．
点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用．
考点点评： 本题主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，本题主要体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，要求学生在学习中要有恒心和毅力．
