解题思路：（1）当a=-1时，函数表达式为f（x）=1+x-x2，可得f（x）在（-∞，0）上是单调增函数，它的值域为（-∞，1），从而|f（x）|的取值范围是[0，+∞），因此不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函数．
（2）函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，即-3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函数表达式并化简整理，得-[4
x
2
-
1/x]≤a≤[2
x
2
-
1/x]在[1，4]上恒成立，接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法，得到（-[4
x
2
-
1/x]）max=-[1/2]，（[2
x
2
-
1/x]）min=-[1/8]，所以，实数a的取值范围是[-[1/2]，-[1/8]]．
（1）当a=-1时，函数f（x）=1+x-x2=-（x-
1
2）2+
5
4
∴f（x）在（-∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1
∴f（x）在（-∞，0）上的值域为（-∞，1）
因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）
∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函数．
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，
则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即-3≤f（x）≤3
∴-3≤ax2+x+1≤3
∴
-x-4
x2≤a≤
-x+2
x2，即-
4
x2-
1
x≤a≤
2
x2-
1
x在[1，4]上恒成立，
∴（-
4
x2-
1
x）max≤a≤（
2
x2-
1
x）min，
令t=
1
x，则t∈[
1
4，1]
设g（t）=-4t2-t=-4（t+
1
8）2+
1
16，则当t=
1
4时，g（t）的最大值为-
1
2
再设h（t）=2t2-t=2（t-
1
4）2-
1
8，则当t=
1
4时，h（t）的最小值为-
1
8
∴（-
4
x2-
1
x）max=-
1
2，（
2
x2-
1
x）min=-
1
8
所以，实数a的取值范围是[-
1
2，-
1
8]．
点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．
考点点评： 本题以一个特定的二次函数在闭区间上有界的问题为例，考查了函数单调性的性质和二次函数在闭区间上值域等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离和换元法求值域的思想，并学会运用．
1年前
8
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