过三角形ABC的重心作一条直线交AB AC 于D E 若向量AD=XAB AE=YAC 则X的倒数加Y的倒数为?
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延长AG交BC于M
由直线的向量形式的参数方程得：（打“向量”太麻烦,下面我都不打向量二字,写在前的表起点,写在后的表终点）AG=kAD+(1-k)AE
因为AD=xAB,AE=yAC
所以AG=kxAB+(1-k)yAC ①
又G为三角形的重心,所以M为三角形的中线（即M为BC中点）
所以AM=1/2AB+1/2AC
且AG=2/3AM,得到AG=1/3AB+1/3AC ②
所以由①②：1/3AB+1/3AC=kxAB+(1-k)yAC
所以1/3=kx,1/3=(1-k)y
消去k得1/x+1/y=3
参考以下二解法:
AE=xAB,AF=yAC,AG=1/3(AB+AC),
则EF=xAB-yAC,EG=(x-1/3)AB-1/3AC
由EG,GF共线得
x=t{1/3(x-3)},-y-=t{-1/3}
消去t得1/x+1/y=3
利用重心性质 AG=2GD(D为BC中点）
设AB=b AC=c
AG=1/3(b+c)
EFG三点共线,由定比分点公式（高一教材上应该有的）,存在系数k,使得k*xb+(1-k)*yc=AG=1/3(b+c)
(实际上此公式中k=FG/GE)
那么kx=1/3
y-ky=1/3
即1/x=3k 1/y=3-3k
故1/x+1/y=3
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