（2013•闸北区二模）设定义域为R的函数f（x）=2x+1a+4x为偶函数，其中a为实常数．
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解题思路：（1）根据给出的函数是偶函数，直接利用偶函数的定义f（-x）=f（x）整理后求a的值，把求出的a值代入原函数解析式，利用函数单调性的定义判断函数的单调性，结合指数函数的性质，利用基本不等式求出函数最值，由函数对应的方程无根判断原函数没有零点；
（2）由（1）得到了函数单调区间，选定一个单调区间或在单调区间内选择一个子区间，由函数解析式解出x，把x和y 互换后得到函数的反函数．
（1）因为f（x）=
2x+1
a+4x为R上的偶函数，
所以对于任意的x∈R，都有
2−x+1
a+4−x＝
2x+1
a+4x，
也就是2-x+1•（a+4x）=2x+1•（a+4-x），
即（a-1）（1-4x）=0对x∈R恒成立，
所以，a=1．
所以f(x)＝
2x+1
1+4x．
由f(x1)−f(x2)＝
2x1+1
1+4x1−
2x2+1
1+4x2=
2(2x2−2x1)(2x1+x2−1)
(1+4x1)(1+4x2)
设x1＜x2＜0，则(1+4x1)(1+4x2)＞0，2x2−2x1＞0，2x1+x2−1＜0，
所以，对任意的x1，x2∈（-∞，0），有
2(2x2−2x1)(2x1+x2−1)
(1+4x1)(1+4x2)＜0
即f（x1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
故，f（x）在（-∞，0）上是单调递增函数．
又对任意的x1，x2∈（0，+∞），在x1＜x2时，(1+4x1
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质；反函数．
考点点评： 本题考查了函数奇偶性的性质，训练了函数单调性的证明方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了函数反函数的求法，求解一个函数的反函数时，一定要注意函数反函数的定义域是原函数的值域，此题是中档题．
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