（2010•闸北区一模）设f（x）为定义域为R的函数，对任意x∈R，都满足：f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f
1个回答
（1）偶函数；．（1分） 最大值为[8/3]、最小值为0；..（1分）
单调递增区间：[0，1]；单调递减区间：[-1，0]；（1分）
零点：x=0．（1分）
单调区间证明：
当x∈[0，1]时，f（x）=3x-3-x．
设x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，f(x1)−f(x2)＝(3x1−3x2)+(
3x1−3x2
3x1•3x2)=(3x1−3x2)(1+
1
3x1•3x2)
证明f（x）在区间[0，1]上是递增函数
由于函数y=3x是单调递增函数，且3x＞0恒成立，
所以3x1−3x2＜0，1+
1
3x1•3x2＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0
所以，f（x）在区间[0，1]上是增函数．（4分）
证明f（x）在区间[-1，0]上是递减函数
【证法一】因为f（x）在区间[-1，1]上是偶函数．
对于任取的x1，x2∈[-1，0]，x1＜x2，有-x1＞-x2＞0f（x1）-f（x2）=f（-x1）-f（-x2）＞0
所以，f（x）在区间[-1，0]上是减函数（4分）
【证法二】设x∈[-1，0]，由f（x）在区间[-1，1]上是偶函数，得f（x）=f（-x）=3-x-3x．
以下用定义证明f（x）在区间[-1，0]上是递减函数..（4分）
（2）设x∈R，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x），
所以，2是f（x）周期．（4分）
当x∈[2k-1，2k]时，2k-x∈[0，1]，
所以f（x）=f（-x）=f（2k-x）=32k-x-3x-2k..（4分）
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