已知定点F（0，1）和直线l：y=-1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E．
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解题思路：（1）由题意，点M到点F的距离等于它到直线l的距离，利用抛物线的定义，即可求曲线E的方程；
（2）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．
（1）由题意，点M到点F的距离等于它到直线l的距离，
故点M的轨迹是以点F为焦点，l为准线的抛物线．…（1分）
∴曲线E的方程为x2=4y．…（2分）
（2）设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意得，x12=y1，x22=y2．
y=kx+1代入x2=4y，消去y得x2-4kx-4=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=-4．…（3分）
直线AB的斜率kAB=
y1−1
x1−2=
x1+2
4，
故直线AB的方程为y-1=
x1+2
4（x-2）．…（4分）
令y=-1，得x=2-[8
x1+2，
∴点S的坐标为（2-
8
x1+2，-1）．…（5分）
同理可得点T的坐标为（2-
8
x2+2，-1）．…（6分）
∴|ST|2=|2-
8
x1+2-（2-
8
x2+2）|2=|
x1−x2/k]|2=
16(k2+1)
k2．…（8分）
设线段ST的中点坐标为（x0，-1），
则x0=[1/2]（2-[8
x1+2+2-
8
x2+2）=2-
4(4k+4)/8k]=-[2/k]．…（9分）
∴以线段ST为直径的圆的方程为(x+
2
k)2+(y+1)2＝
4(k2+1)
k2．…（10分）
令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=-3．…（13分）
∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，-3）．…（14分）
点评：
本题考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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