在ΔABC中,∠C=90°,P为三角形内一点,且S(PAB)=S(PBC)=S(PCA).
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证明 已知ΔABC是直角三角形,AB为斜边,记AB=c,BC=a,CA=b.则有:

c^2=a^2+b^2. (1)

满足:S(PAB)=S(PBC)=S(PCA),易证P是RtΔABC的重心.

设mc,ma,mb分别表示RtΔABC的对应边AB,BC,CA上的中线,则有

PC=2mc/3, PA=2ma/3, PB=2mb/3.

而三角形中线公式为:

4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2,

4(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2,

4(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2.

欲证明PA^2+PB^2=5PC^2,等价于证明

4(ma)^2+4(mb)^2=20(mc)^2 (2)

因为在RtΔABC中,4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2=c^2

而4(ma)^2+4(mb)^2=4c^2+a^2+b^2=5c^2.

所以(2)式成立.

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