抛物线y^2=2px有ㄧ内接直角三角形,直角的顶点在原点,抛物线Y^2=2pX(p＞0)有一个内接直角三角形,直角顶点是
1个回答

抛物线y^2=2px（p＞0）有一个内接直角三角形,直角顶点是原点,一条边所在直线方程为y＝2x,斜边长为5√13.求此抛物线方程.

∵设抛物线的内接三角形是△OAB,且A在直线y＝2x上,则B一定在直线y＝－x/2上.

联立：y＝2x、y^2＝2px,消去y,得：4x^2＝2px,∴x＝0,或x＝p/2.

显然,点A的横坐标是p/2,∴点A的纵坐标是p.

再联立：y＝－x/2、y^2＝2px,消去y,得：x^2/4＝2px,∴x＝0,或x＝8p.

显然,点B的横坐标是8p,∴点B的纵坐标是16p.

依题意,有：｜AB｜＝5√13,∴√［（p/2－8p）^2＋（p－16p）^2］＝5√13,

∴√［（15/2）^2＋15^2］p＝5√13,∴（15/2）√（1＋4）p＝5√13,∴p＝2√65/15.

∴满足条件的抛物线方程是y＝（4√65/15）x.

相关问题