（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且sin(α+β)＝513，tanα2＝12．则cosβ的值为-[16/65
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解题思路：由tan[α/2]的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β-α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
∵tan[α/2]=[1/2]，
∴tanα=
2tan
α
2
1−tan2
α
2=[4/3]＞1，
∴α∈（[π/4]，[π/2]），
∴cosα=
1
1+tan2α=[3/5]，sinα=
1−cos2α=[4/5]，
∵sin（α+β）=[5/13]＜
2
2，
∴α+β∈（[π/2]，π），
∴cos（α+β）=-[12/13]，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-[12/13]×[3/5]+[5/13]×[4/5]=-
点评：
本题考点： 二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．
考点点评： 此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
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