为什么证明齐次对称不等式(如3元),可以设a+b+c=1或abc=1?

为什么证明齐次对称不等式(如3元),可以设a+b+c=1或abc=1?

为什么这样设是对的?

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1个回答

简单举个例子 比如证明：

3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2

两边同时除(a+b+c)^2

得3([a/(a+b+c)]^2+[b/(a+b+c)]^2+[c/(a+b+c)]^2])>=1

令x=a/(a+b+c) y=b/(a+b+c) z=c/(a+b+c)

命题就变成求证：3(x^2+y^2+z^2)>=1

而且有这么个条件：x+y+z=1

看看 是不是变成了你所谓的设a+b+c=1了呢?

应当注意很多例子当中是要求a+b+c或abc恒为正数才可以这样设的、

容易知道 上面的例子是两边除(a+b+c)^2有的不等式次数是单数的比如要除(a+b+c)^3

假如题目是a,b,c都属于R 那么就不能这么变形了 因为不能保证(a+b+c)^3是正数 不等式就要变号了 相当复杂..

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