数学竞赛.不等式（4）设a,b,c≥0,a+b+c=1,求证7（ab+bc+ca）≤2+9abc
2个回答

a³ +b³ +c³

= (a³ +b³ +c³ )(a+b+c)

≥ (a²+b²+c²)²

≥ (a²+b²+c²)/3

3(a³ +b³ +c³) ≥ a²+b²+c² = 1-2(ab+bc+ca) (1)

(a³ +b³ +c³)-3abc

= (a+b+c)( a²+b²+c² -ab-bc-ca)

= a²+b²+c² -ab-bc-ca

3abc+1 = a³ +b³ +c³ +3(ab+bc+ca) (2)

(1) + (2)*3

9abc +3 ≥ 1 + 7（ab+bc+ca)

7（ab+bc+ca）≤2+9abc

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