设抛物线C：x 2 =2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，已知|AB|=2．
1个回答
（1）设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则|AB|=
1+ k 2 | x 1 - x 2 | =
1+ k 2 •
( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 • x 2
由题意知，抛物线的焦点F为（0，
p
2 ），则直线AB的方程为 y-
p
2 =1×(x-0) ，即为 y=x+
p
2 ，
联立抛物线方程得到
y=x+
p
2
x 2 =2py(p＞0) 整理得x 2-2px-p 2=0（p＞0），则
x 1 + x 2 =2p
x 1 • x 2 =- p 2
故|AB|=
1+ k 2 •
(2p) 2 -4•(- p 2 ) =
2 •2
2 p=4p =2，解得 p=
1
2
故抛物线C的方程为：x 2=y；
（2）由（1）知抛物线C的方程为：x 2=y，如图示，设C（ x C ， x C 2 ），P（0，t），
由题意知，只需使过点P（0，t）的抛物线x 2=y的切线PC的垂线PD与该抛物线有交点即可，
将抛物线的方程改写为y=x 2，求导得 y ′ =2x
所以过点C的切线PC的斜率是 2 x C =
x C 2 -t
x C ，即 x C 2 =-t
由于直线PD与切线PC垂直，故直线PD的斜率为-
1
2 x C
则直线PD的方程为： y-t=-
1
2 x C x ，即是 y=-
1
2 x C x+t
联立抛物线的方程y=x 2得到 x 2 +
1
2 x C x-t=0
由于PD与该抛物线有交点，则 △=(
1
2 x C ) 2 +4t≥0 ，即
1
-4t +4t≥0 （t＜0）
解得 -
1
4 ≤t＜0 ，则t的取值范围为{t| -
1
4 ≤t＜0 }．
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