已知函数f(x)＝ekx2−kx2e（k＞0）（e为自然对数的底数）

已知函数

f(x)＝

e

k

x

2

−k

x

2

e

（k＞0）（e为自然对数的底数）

（1）求f（x）的极值

（2）对于数列{an}，

a

n

＝

e

n

2

−1

−

n

2

（n∈N*）

①证明：an＜an+12

②考察关于正整数n的方程an=n是否有解，并说明理由．

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1个回答

解题思路：（1）由f′（x）=0可求得x=0或x=±1k，从而可求得其单调区间，继而可求得f（x）的极值；（2）①观察得知，当k=1时，f（x）=e(ex2−1−x2)，an=f(n)e，利用f（x）在（1，+∞）上递增，即可证得an＜an+1；（3）由an=n，得en2−1=n2+n，分析等号两端即可得到答案．

（1）由f′（x）=2kx（ekx2-e）=0得，x=0或x=±

1

k，

∴f（x）在 （-∞，-

1

k）单调递减，（-

1

k，0）单调递增，（0，

1

k）单调递减，（

1

k，+∞）单调递增，

∴f（x）极大=f（0）=1，f（x）极小值=f(±

1

k)=0，

（2）①当k=1时，f（x）=ex2−ex2=e(ex2−1−x2)，

由（1）知f（x）在（1，+∞）上递增，从而an＜an+1

②由an=n，得en2−1=n2+n，

因n∈N+，得 n2-1是整数，所以en2−1是无理数，

而n2+n为整数，所以en2−1≠n2+n

即方程an=n无解

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，着重考查利用导数研究函数的单调性，突出分类讨论思想与转化思想的综合运用，属于难题．

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