（2010•成都一模）在数列{an}中，a1=-13，n∈N*，当n≥2时，有3an-2an-1+n+2=0，设bn=a
1个回答
解题思路：（I）由bn=an+n+1及3an-2an-1+n+2=0把n=1，2分别代入可求
（II）由3an-2an-1+n+2=0得，3（an+n）=2（an-1+n-1），
a
n
+n
a
n-1
+n-1
=
2
3
，即
b
n
-1
b
n-1
-1
=
2
3
，从而可证
（III）由（I）可得
b
n
=
2
3
b
n-1
+
1
3
从而可求
b
n
=1+(
2
3
)
n
，则
c
n
=
(
2
3
)
n
2
b
2
n
+
b
n
=
b
n
-
b
n+1
b
n
b
n+1
=
1
b
n+1
-
1
b
n
，从而可利用裂项求和．
（I）∵a1=-
1
3，bn=an+n+1∴b1=a1+2=
5
3
当n=2时，3a2-2a1+4=0可得a2=-
14
9
∴b2=3+a2=
13
9
（II）由3an-2an-1+n+2=0得，3（an+n）=2（an-1+n-1）
an+n
an-1+n-1=
2
3，n≥2即
bn-1
bn-1-1=
2
3
∵b1- 1=
2
3≠0
∴{bn-1}是以
2
3为首项，
2
3为公比的等比数列
（III）由（I）可得bn=
2
3bn-1+
1
3
∴2bn-1+1=3bn，所以bn=1+(
2
3)n
cn=
(
2
3)n
2
b2n+bn=
(
2
3)n
(2bn+1)bn=
bn-bn+1
bnbn+1=
1
bn+1-
1
bn
点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．
考点点评： 本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，而定义法是证明数列为等比（等差）数列的常见方法，裂项求和是数列求和的重要方法，要注意掌握．
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